Question

18．已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，若有窮數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}，n∈{N^*}$的前n項(xiàng)和為$\frac{255}{256}$，則n=8．

Answer 1

分析 由f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可知y=a^x時(shí)減函數(shù)，結(jié)合$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$可解出a，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，帶入求和公式即可解出n的值．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$，
則F′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{（g（x））^{2}}$＜0，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}={a^x}$是減函數(shù)，
∴0＜a＜1
∵$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，
∴a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴{$\frac{f（n）}{g（n）}$}=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
其前n項(xiàng)和為S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
∴1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\frac{255}{256}$，
解得n=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系及數(shù)列求和，屬于綜合題．