已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數(shù)m的范圍.
分析:(1)首先求出函數(shù)的導數(shù),然后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)增減性的關系,判斷函數(shù)的遞增區(qū)間,
(2)根據(jù)根的分布與函數(shù)導數(shù)的關系確定m的范圍.
解答:解:(1)依題意得:f′(x)=
-a(x-1)
x

當a>0,單調遞增區(qū)間(0,1),
當a<0,單調遞增區(qū)間(1,+∞),
當a=0,無增區(qū)間.
(2)由f′(2)=1,得a=-2,
g(x)=x3+(2+
m
2
)x2-2x
,
所以g′(x)=3x2+(m+4)x-2=0有兩個正負根,
依題意必有正根在區(qū)間(1,3)上,
∴由根的分布可得g′(1)<0且g′(3)>0
-
37
3
<m<-5
點評:掌握函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間的方法,及根的分布的判定.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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