Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為，過(guò)點(diǎn)A（x，0）（x≥）作直線l交拋物線C于點(diǎn)P，Q（點(diǎn)P在第一象限）．
（Ⅰ）若點(diǎn)A與焦點(diǎn)F重合，且弦長(zhǎng)|PQ|=2，求直線l的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，直線PM交x軸于點(diǎn)B，且BP⊥BQ，求證：點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-x，0），并求點(diǎn)B到直線l的距離d的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定拋物線的方程，設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)|PQ|=2，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量知識(shí)，證明B（-x，0），確定出x，或m的范圍，表示出點(diǎn)B到直線l的距離d，即可求得取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：由題意可知，，故拋物線方程為y²=x，焦點(diǎn)．----（1分）
設(shè)直線l的方程為，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由消去x，得．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．------------------------------------（3分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124617567711030/SYS201310251246175677110021_DA/5.png">，點(diǎn)A與焦點(diǎn)F重合，
所以．
所以n²=1，即n=±1．---------------------------------------------（5分）
所以直線l的方程為或，
即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0．-----------------------------------（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為x=my+x（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₂，-y₂）．
由消去x，得y²-my-x=0，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124617567711030/SYS201310251246175677110021_DA/10.png">，所以△=m²+4x＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-x．-----------------------（7分）
方法一：
設(shè)B（x_B，0），則．
由題意知，，所以x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂，
即．
顯然y₁+y₂=m≠0，所以x_B=y₁y₂=-x，即證B（-x，0）．--------------------------（9分）
由題意知，△MBQ為等腰直角三角形，所以k_PB=1，即，也即，
所以y₁-y₂=1，所以，
即m²+4x=1，所以m²=1-4x＞0，即
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124617567711030/SYS201310251246175677110021_DA/18.png">，所以．-----------------------------------------（12分），
所以d的取值范圍是．---------------------------------（15分）
方法二：
因?yàn)橹本�，
所以令y=0，則，
所以B（-x，0）．--------------------------------------------------（9分）
由題意知，△MBQ為等腰直角三角形，所以k_PB=1，即，
所以y₁-y₂=1，所以，即m²+4x=1，所以m²=1-4x＞0．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124617567711030/SYS201310251246175677110021_DA/26.png">，所以．--------------------------------------（12分）
所以d的取值范圍是．-----------------------------------（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．