Question

在計(jì)算“1×2+2×3+…+n（n-1）”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫(xiě)第k項(xiàng)：
k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得：
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）．
…
n（n-1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n-1）]
相加，得1×2-2×3+…+n（n-1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．
類(lèi)比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×3+2×4+…+n（n+2）”，其結(jié)果寫(xiě)成關(guān)于n的一次因式的積的形式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類(lèi)比推理

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯,推理和證明

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類(lèi)比推理，是要根據(jù)已知中給出的在計(jì)算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時(shí)化簡(jiǎn)思路，對(duì)1×3+2×4+…+n（n+2）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)，處理的方法就是類(lèi)比，將n（n+2）進(jìn)行合理的分解．

解答： 解：n（n+2）=

1

6

[n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5)]111
∴1×3=

1

6

（1×2×9-0×1×7），
2×4=

1

6

（2×3×11-1×2×9）．
…
∴n（n+2）=

1

6

[n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5)]
∴1×3+2×4+…+n（n+2）=

1

6

[（1×2×9-0×1×7）+（2×3×11-1×2×9）+…+（n（n+1）（2n+7）-（n-1）n（2n+5）]
=

1

6

n（n+1）（2n+7）
故答案為：

1

6

n（n+1）（2n+7）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了類(lèi)比推理，類(lèi)比推理的一般步驟是：（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．