Question

函數(shù)y=f（x）滿足f（3+x）=f（1-x），且x₁，x₂∈（2，+∞）時，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，若f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2）對θ∈R恒成立．
（1）判斷y=f（x）的單調(diào)性和對稱性；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

（1）由f （3+x）=f （1-x），可得f （2+x）=f（2-x），
∴y=f （x）的對稱軸為x=2．…（2分）
當2＜x₁＜x₂時，f （x₁）＜f （x₂）；  當2＜x₂＜x₁時，f （x₂）＜f （x₁）．
∴y=f （x）在（2，+∝）上為增函數(shù)，在（-∞，2）上為減函數(shù)．…（4分）
（2）由f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2），可得|cos²θ+2m²|＜|sinθ+m²-3m-4|，
即m²-3m-4+sinθ＞cos²θ+2m²（i），或m²-3m-4+sinθ＜-cos²θ-2m²（ii）恒成立．…（7分）
由（i）得m²+3m+4＜-cos²θ+sinθ=（sinθ+

1

2

）²-

5

4

恒成立，∴m²+3m+4＜-

5

4

，
故 4m²+12m+21＜0恒成立，m無解．…（10分）
由（ii） 得3m²-3m-4＜-cos²θ-sinθ=（sinθ-

1

2

）²-

5

4

恒成立，可得3m²-3m-4＜-

5

4

，
即 12m²-12m-11＜0，解得

3- 42

6

＜m＜

3+ 42

6

．…（13分）