Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=5且S_n-1=an（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₁，a₃，a₄的值，并猜想a_n（n≥2，n∈N^*）的表達式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 an+1=

2an

an+1

，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想 an=

2n

2n-1

，檢驗n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答：解：（1）由題意：S_n-1=a_n（n≥2，n∈N^*），
得 a₂=S₁=a₁=5；a₃=S₂=a₁+a₂=10；a₄=S₃=a₁+a₂+a₃=20；
猜想：a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N）；
證明：（2）①當n=2時，由（1）知，命題成立．
②假設(shè)當n=k時命題成立，即 a_k=5×2^k-2，
則當n=k+1時，a _k+1=S_k=a₁+a₂+…+a_k=5+

5(1-2 k-1)

1-2

=5-5•2^k-1=5•2^k-1，
故命題也成立．                     
綜上，對一切n≥2，n∈N都有a_n=5×2^n-2成立．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．