Question

設(shè)F₁、F₂是離心率為的雙曲線(xiàn)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)右支上存在一點(diǎn)P，使（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）且|PF₁|=λ|PF₂|則λ的值為（ ）
A．2
B．
C．3
D．

Answer 1

【答案】分析：取PF₂的中點(diǎn)A，推出 ，由OA 是△PF₁F₂的中位線(xiàn)，得到PF₁⊥PF₂，由雙曲線(xiàn)的定義求出|PF₁|和|PF₂|的值，進(jìn)而在△PF₁F₂中，由勾股定理得及=，解得λ的值．
解答：解：取PF₂的中點(diǎn)A，則=2，
∵，∴•=0，
∴，由 OA 是△PF₁F₂的中位線(xiàn)，
∴PF₁⊥PF₂，OA=PF₁． 
由雙曲線(xiàn)的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=λ|PF₂|，∴|PF₂|=，|PF₁|=．
△PF₁F₂中，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=4C²，
∴=4c²，
又 =，∴，∴λ=2，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的定義和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷△PF₁F₂是直角三角形，是解題的關(guān)鍵．