Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為12x+2y-27=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)=-

1

2

x2+m有三個不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若不等式f(x)-

3

2

x2+(k+1)x≥0(k∈R)對于x∈（-∞，0）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由切點(diǎn)在切線上，和導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率得出方程組，求出a，b的值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，由圖象知m的值為小于極大值且大于極小值；
（Ⅲ）將不等式變形，使k在不等式一邊，構(gòu)造函數(shù)，恒成立，即k小于或等于函數(shù)的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵切點(diǎn)（3，f（3））在切線上，∴12×3+2f（3）-27=0，得f（3）=-

9

2

，
∴27a+9b=-

9

2

，即6a+2b=-1①，
又f′（x）=3ax²+2bx，3a×3²+2b×3=-6，即9a+2b=-2 ②
由①②解得a=-

1

3

，b=

1

2

，∴函數(shù)解析式為f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2；
（Ⅱ）f(x)=-

1

2

x2+m，即-

1

3

x³+x²=m，
令g（x）=-

1

3

x³+x²，令g′（x）=-x²+2x＞0得，0＜x＜2，
∴g（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，2）上單調(diào)遞增，
∴g（x）的極小值為g（0）=0，極大值為g(2)=-

8

3

+4=

4

3

，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0，

4

3

)；
（Ⅲ）由f(x)-

3

2

x2+(k+1)x≥0(k∈R)得；k≤

1

3

x²+x-1=

1

3

（x+

3

2

）²-

7

4

，
又∵

1

3

（x+

3

2

）²-

7

4

≥-

7

4

，
∴k≤-

7

4

，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-

7

4

]．

點(diǎn)評：本題考查了，利用導(dǎo)數(shù)求切線，數(shù)形結(jié)合，化歸思想，解決恒成立問題．