Question

設(shè)A，B，C是圓x²+y²=1上相異三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)λ，μ，使得

OC

=λ

OA

+μ

OB

，則λ²+μ²的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)向量

OA

，

OB

夾角為θ，根據(jù)已知條件對等式

OC

=λ

OA

+μ

OB

兩邊平方可得1=λ²+μ²+2λμcosθ，根據(jù)2λμ≤λ²+μ²，所以討論cosθ的取值：分-1＜cosθ＜0，cosθ=0，0＜cosθ＜1，從而得出λ²+μ²的取值范圍．

解答： 解：由已知條件得：

OC

2=λ2

OA

2+2λμ

OA

•

OB

+μ2

OB

2，
設(shè)

OA

，

OB

夾角為θ，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1；
∴1=λ²+μ²+2λμcosθ，∴2λμcosθ=1-（λ²+μ²）；
∵A，B，C三點(diǎn)相異，
∴-1＜cosθ＜1，①若0＜cosθ＜1，則1-（λ²+μ²）=2λμcosθ≤（λ²+μ²）cosθ，
∴λ2+μ2≥

1

1+cosθ

；
∵1＜1+cosθ＜2，
∴

1

2

＜

1

1+cosθ

＜1，
∴λ2+μ2＞

1

2

；
②若cosθ=0，λ²+μ²=1；
③若-1＜cosθ＜0，1-（λ²+μ²）=2λμcosθ≥（λ²+μ²）cosθ，
∴λ2+μ2≤

1

1+cosθ

，
∵0＜1+cosθ＜1，∴

1

1+cosθ

＞1；
綜上可得λ²+μ²的取值范圍是(

1

2

，+∞)．
故答案為：(

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評：考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，數(shù)量積的計算公式，基本不等式：a²+b²≥2ab．