Question

8．已知圓錐的底面直徑和母線長都是$2\sqrt{3}$．
（1）求該圓錐的外接球的表面積；
（2）正方體的一面在該圓錐的底面上，其余四個頂點在圓錐的母線上，求該正方體的棱長．

Answer 1

分析 （1）求出圓錐的高為3，由射影定理可得12=3•2R，求出R，即可求該圓錐的外接球的表面積；
（2）設正方體的棱長為2a，則利用軸截面可得$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{3-2a}{3}$，即可得出結論．

解答 解：（1）設球的半徑為R，則
∵圓錐的底面直徑和母線長都是$2\sqrt{3}$．
∴圓錐的高為3，
由射影定理可得12=3•2R，∴R=2，
∴該圓錐的外接球的表面積S=4π•2²=16π；
（2）設正方體的棱長為2a，
則利用軸截面可得$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{3-2a}{3}$，
∴a=3$\sqrt{6}$-6．

點評 本題考查圓錐的外接球的表面積、正方體的棱長，考查學生的計算能力，屬于中檔題．