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【題目】已知橢圓： 的上下兩個焦點分別為， ，過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知為坐標原點，直線： 與軸交于點，與橢圓交于， 兩個不同的點，若存在實數，使得，求的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）根據題目條件，由橢圓焦點坐標和對稱性計算的面積，建立等式關系，結合關系式，離心率計算公式，問題可得解；（Ⅱ）由題意，可分直線是否過原點，對截距進行分類討論，再利用橢圓對稱性、向量共線、直線與橢圓有交點等性質、條件進行運算即可.

試題解析：（Ⅰ）根據已知橢圓的焦距為，當時， ，

由題意的面積為，

由已知得，∴，∴，

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）若，則，由橢圓的對稱性得，即，

∴能使成立．

若，由，得，

因為， ， 共線，所以，解得．　

設， ，由

得，

由已知得，即，

且， ，

由，得，即，∴，

∴，即．

當時， 不成立，∴，

∵，∴，即，

∴，解得或．

綜上所述， 的取值范圍為．

練習冊系列答案
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【題目】某河道中過度滋長一種藻類，環(huán)保部門決定投入生物凈化劑凈化水體. 因技術原因，第t分鐘內投放凈化劑的路徑長度 (單位：m)，凈化劑凈化水體的寬度 (單位：m)是時間t(單位：分鐘)的函數: (由單位時間投放的凈化劑數量確定，設為常數，且).

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A.1008
B.2014
C.2015
D.2016

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（2）當時，函數有零點，求的取值范圍.

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