Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線ON的斜率k_ON；
（2）對(duì)于橢圓C上的任意一點(diǎn)M，設(shè)（λ∈R，μ∈R），求證：λ²+μ²=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率，化簡(jiǎn)橢圓的方程，設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式，即可求斜率；
（2）確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用M，A，B在橢圓上，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124630692604677/SYS201310251246306926046021_DA/0.png">，所以有，故有a²=3b²．
從而橢圓C的方程可化為x²+3y²=3b²                                        ①
∴右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0），
據(jù)題意有AB所在的直線方程為：y=x-．②
由①，②有：．③
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點(diǎn)N（x，y），由③及韋達(dá)定理有：，
所以，即為所求．…（6分）
（2）證明：顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得等式成立．
設(shè)M（x，y），由（1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
故x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．…（8分）
又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以有
整理可得：++2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：，．
所以x₁x₂+3y₁y₂=3b²-9b²+6b²=0   ⑤
又點(diǎn)A，B在橢圓C上，故有==3b²．⑥
將⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．