Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=2AD=2a，E為DC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如圖2．

（1）求四棱錐D-ABCE的體積；
（2）求證：AD⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）先取AE中點(diǎn)O，連接DO，推得DO⊥平面ABCE．即DO為高，然后再分別求出高和低面積即可．
（2）先證AE⊥EB，再利用DO⊥平面ABCE?DO⊥BE?BE⊥平面ADE?BE⊥AD，又有AD⊥DE，可得結(jié)論．

解答：解：（1）取AE中點(diǎn)O，連接DO，由題意知：
AB=2AD=2a，ED=EC，
∴AD=DE，∴DO⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，
∴DO⊥平面ABCE．
在等腰Rt△ADE中，
AD=DE=a，
DO=

2

2

a，
又S_梯形ABCE=

1

2

（a+2a）a=

3

2

a²，
∴V_D-ABCE=

1

3

S_梯形ABCE•DO=

1

3

•

3

2

a²•

2

2

a=

2

4

a³．

（2）證明：在題圖1中，連接BE，
則BE=

a2+a2

=

2

a，
又AE=

2

a，AB=2a，
∴AB²=AE²+EB²，
∴AE⊥EB，
由（1）知：DO⊥平面ABCE，
∴DO⊥BE，又DO∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE
∴BE⊥AD
又∵AD⊥DE，
∴AD⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)以及棱錐的體積計(jì)算．在證明面面垂直時(shí)，其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直