Question

求函數(shù)y=sin（x+

π

6

）sin（x-

π

6

）+acosx的最大值．（其中a為定值）

Answer 1

分析：利用兩角和差的三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式并換元得 y=f(t)=-t2+at+

3

4

，對(duì)稱軸為t=

a

2

，分

a

2

≤-1、-1＜

a

2

＜1、

a

2

≥1三種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出最大值．

解答：解：函數(shù)y=sin（x+

π

6

）sin（x-

π

6

）+acosx=-cos2x+acosx+

3

4

，
設(shè)t=cosx，則f(t)=-t2+at+

3

4

，對(duì)稱軸為t=

a

2

．
（1）當(dāng)

a

2

≤-1，即a≤-2時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴ymax=f(t)max=f(-1)=-a-

1

4

．
（2）當(dāng)-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2時(shí)，函數(shù)在[-1，1]先增后減，∴ymax=f(t)max=f(

a

2

)=

a2

4

+

3

4

．
（3）當(dāng)

a

2

≥1，即a≥2時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增，∴ymax=f(t)max=f(1)=a-

1

4

．
綜上所述，當(dāng)a≤-2時(shí)，∴ymax=-a-

1

4

； 
當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，∴ymax=

a2

4

+

3

4

；
當(dāng)a≥2時(shí)，∴ymax=a-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的值域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解題的難點(diǎn)．