Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n=log_n+1（n+2），定義使a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)的數(shù)k（k∈N^*）叫做希望數(shù)，則區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有希望數(shù)的和M=（ ）
A．2026
B．2036
C．2046
D．2048

Answer 1

【答案】分析：利用a_n=log_n+1（n+2），化簡(jiǎn)a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，給m依次取值，可得區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有希望數(shù)，然后求和．
解答：解：a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁•a₂•a_k為整數(shù)得，log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）為整數(shù)，
設(shè)log₂（k+2）=m，則k+2=2^m，∴k=2^m-2； 因?yàn)?¹¹=2048＞2010，
∴區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有希望數(shù)為2²-2，2³-2，2⁴-2，，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求出區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有希望數(shù)為2²-2，2³-2，2⁴-2，，2¹⁰-2，是解題的關(guān)鍵．