Question

（2013•崇明縣二模）設(shè)函數(shù) f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，函數(shù)y=f[f（x）]-1的零點個數(shù)為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù) f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以分類討論，化簡函數(shù)函數(shù)y=f[f（x）]-1的解析式，進而構(gòu)造方程求出函數(shù)的零點，得到答案．

解答：解：∵函數(shù) f(x)=

2x      (x≤0) log2x (x＞0)

，
當(dāng)x≤0時
y=f[f（x）]-1=f（2^x）-1=log22x-1=x-1
令y=f[f（x）]-1=0，x=1（舍去）
當(dāng)0＜x≤1時
y=f[f（x）]-1=f（log₂x）-1=2log2x-1=x-1
令y=f[f（x）]-1=0，x=1
當(dāng)x＞1時
y=f[f（x）]-1=f（log₂x）-1=log₂（log₂x）-1
令y=f[f（x）]-1=0，log₂（log₂x）=1
則log₂x=2，x=4
故函數(shù)y=f[f（x）]-1的零點個數(shù)為2個
故答案為：2

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的零點，根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，化簡函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．