已知拋物線C：y2=8x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點(diǎn)M的軌跡方程．
分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可證明；
（2）利用向量的運(yùn)算可得點(diǎn)M關(guān)于k的參數(shù)方程，消去參數(shù)并求出范圍即可得出點(diǎn)M的軌跡方程．
解答：解：將y=k（x+2）代入y2=8x，整理得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0，
∵動直線l與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A、B，
∴k≠0且△＞0，即
k≠0
(4k2-8)2-16k4＞0
解得：-1＜k＜1且k≠0．
設(shè)A（x1，y2），B（x2，y2），則x1+x2=
8
k2
-4， x1x2=4．
（1）證明：
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=4(k2+1)+2k2(
8
k2
-4)+4k2=20，
∴
OA
•
OB
為常數(shù)．
（2）解：
OM
=
OA
+
OB
=(x1，y1)+(x2，y2)=（x1+x2，y1+y2）=（x1+x2，k（x1+x2+4））=(
8
k2
-4，
8
k
)．
設(shè)M（x，y），則
x=
8
k2
-4
y=
8
k
消去k得：y2=8x+32．
又由-1＜k＜1且k≠0得：0＜k2＜1，
1
k2
＞1，∴x=
8
k2
-4＞4，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y2=8x+32（x＞4）
點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的運(yùn)算、直線的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
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精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個動點(diǎn)，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動點(diǎn)，過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點(diǎn)M，不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，則k=（　　）

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