Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁＞0，
（Ⅰ）若，請直接寫出a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若，求證：{}是等比數(shù)列并求出{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n對一切n∈N₊都成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，，n取1，2，即可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ），兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列{}是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此可得{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n對一切n∈N₊都成立，可得，又a₁＞0，即可求a₁的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：∵，，∴=，…（2分）
（Ⅱ）證明：由題意知a_n＞0，，
∴，
∵=  …（4分）
所以數(shù)列{}是首項為，公比為的等比數(shù)列…（5分）
∴，
∴   …（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：即…（9分）
由a₁＞0，知a_n＞0，故a_n+1＞a_n，得…（11分）
即得，…（13分）
又a₁＞0，則0＜a₁＜1…（14分）
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強．