Question

9．設(shè)一個半球的半徑為R，則其內(nèi)接圓柱的最大側(cè)面積是πR²．

Answer 1

分析 設(shè)這個圓柱的底面半徑為r，高為h，可得這個圓柱的側(cè)面積S=2πrh．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得S在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}R$）上是增函數(shù)，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，R）上是減函數(shù)，由此可得當(dāng)h=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$時，圓柱的側(cè)面積取最大值，

解答 解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，
則r²+h²=R²，
設(shè)圓柱的側(cè)面積設(shè)為S，
則S=2πrh=2π$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$•h，
∴S′=2π（$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}-\frac{{h}^{2}}{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}$）=2π$•\frac{{R}^{2}-2{h}^{2}}{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}$，
當(dāng)h＜$\frac{\sqrt{2}}{2}R$時，S′＞0，S為增函數(shù)；
當(dāng)h＞$\frac{\sqrt{2}}{2}R$時，S′＜0，S為減函數(shù)；
故當(dāng)h=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$時，S取最大值πR²，
故答案為：πR²．

點評 本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，圓柱的側(cè)面積，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．