【題目】已知函數(shù)(為常數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在內(nèi)有極值,試比較與的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是減函數(shù); (2)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.見解析
【解析】
(1)求導(dǎo)得到,討論,,三種情況計(jì)算得到答案.
(2)根據(jù)題意有一變號(hào)零點(diǎn)在區(qū)間上,得到,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.
(1)定義域?yàn)?/span>,
設(shè)
當(dāng)時(shí),,此時(shí),從而恒成立,
故函數(shù)在上是增函數(shù),在上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象開口向上,對(duì)稱軸,又
所以此時(shí),從而恒成立,
故函數(shù)在上是增函數(shù),在上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),,設(shè)有兩個(gè)不同的實(shí)根,
共中,
令,則,
令,得或;令,得或,
故函數(shù)在上是增函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是減函數(shù).
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù),在上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是減函數(shù).
(2)要使在上有極值,由(1)知,①
則有一變號(hào)零點(diǎn)在區(qū)間上,不妨設(shè),
又因?yàn)?/span>,∴,又,
∴只需,即,∴,②
聯(lián)立①②可得:.
從而與均為正數(shù).
要比較與的大小,同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù),
即比較與的大小,再轉(zhuǎn)化為比較與的大小.
構(gòu)造函數(shù),則,
再設(shè),則,從而在上單調(diào)遞減,
此時(shí),故在上恒成立,則在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓,點(diǎn),過(guò)的直線與圓交于點(diǎn),過(guò)做直線平行交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)的直線與交于、兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)為,且,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩陶瓷廠生產(chǎn)規(guī)格為的矩形瓷磚(長(zhǎng)和寬都約為) ,根據(jù)產(chǎn)品出廠檢測(cè)結(jié)果,每片瓷磚質(zhì)量(單位:)在之間的稱為正品,其余的作為廢品直接回爐處理.正品瓷
磚按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分為“優(yōu)等”、“一級(jí)”、“合格”三個(gè)標(biāo)準(zhǔn),主要按照每片瓷磚的“尺寸誤差”加以劃分,每片價(jià)格分別為元、元、元.若規(guī)定每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計(jì)算方式為,設(shè)矩形瓷磚的長(zhǎng)與寬分別為(單位:) ,則“尺寸誤差”為,“優(yōu)等”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是,“一級(jí)”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是,“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是.現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的正品瓷磚中隨機(jī)抽取片瓷磚,相應(yīng)的“尺寸誤差”組成的樣本數(shù)據(jù)如下:
(甲廠產(chǎn)品的“尺寸誤差”頻數(shù)表)
尺寸誤差 | 頻數(shù) |
(乙廠產(chǎn)品的“尺寸誤差”柱狀圖)
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分別計(jì)算甲、乙兩廠生產(chǎn)的正品瓷磚的“尺寸誤差”的平均值;
(2)若用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,求乙廠所生產(chǎn)的正品瓷磚的平均價(jià)格;
(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從甲廠生產(chǎn)的片樣本瓷磚中隨機(jī)抽取片,再?gòu)某槿〉?/span>片瓷磚中的“一級(jí)”瓷磚與“合格”瓷磚中隨機(jī)選.取片進(jìn)一步分析其“平整度”,求這片瓷磚的價(jià)格之和大于元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸,長(zhǎng)度單位相同,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線過(guò)點(diǎn),傾斜角為.
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,寫出直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式;
(2)已知直線交曲線于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面平面PCD,底面ABCD為梯形,,,M為PD的中點(diǎn),過(guò)A,B,M的平面與PC交于N.,,,.
(1)求證:N為PC中點(diǎn);
(2)求證:平面PCD;
(3)T為PB中點(diǎn),求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓()的離心率為,以的短軸為直徑的圓與直線相切.
(1)求的方程;
(2)直線交于,兩點(diǎn),且.已知上存在點(diǎn),使得是以為頂角的等腰直角三角形,若在直線的右下方,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值;
(2)若在上存在一點(diǎn),使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)=x2lnx-a(x2-1)(a∈R),若≥0在x∈(0,1] 時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A. [,+ ∞) B. [,+∞) C. [2,+∞) D. [1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某學(xué)校研究性課題《什么樣的活動(dòng)最能促進(jìn)同學(xué)們進(jìn)行垃圾分類》向題的統(tǒng)計(jì)圖(每個(gè)受訪者都只能在問(wèn)卷的5個(gè)活動(dòng)中選擇一個(gè)),以下結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 回答該問(wèn)卷的總?cè)藬?shù)不可能是100個(gè)
B. 回答該問(wèn)卷的受訪者中,選擇“設(shè)置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多
C. 回答該問(wèn)卷的受訪者中,選擇“學(xué)校團(tuán)委會(huì)宣傳”的人數(shù)最少
D. 回答該問(wèn)卷的受訪者中,選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學(xué)校要求”的少8個(gè)
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