Question

甲、乙、丙三人去完成一項任務，已知甲、乙、丙各自完成該項任務的概率分別為

1

2

，

1

3

，

1

4

，且他們是否完成任務互不影響．
（Ⅰ）求三人中只有乙完成了任務的概率；
（Ⅱ）求甲丙二人中至少有一人完成了任務的概率；
（Ⅲ）設甲、乙、丙三人中完成了任務的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望EX．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設事件A，B，C分別表示甲、乙、丙完成任務，則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，由此能求出三人中只有乙完成了任務的概率．
（Ⅱ）甲丙二人中至少有一人完成了任務的對立事件是甲、丙二人都沒有完成任務，由此利用對立事件概率計算公式能求出甲丙二人中至少有一人完成了任務的概率．
（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（Ⅰ）設事件A，B，C分別表示甲、乙、丙完成任務，
則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，
∴三人中只有乙完成了任務的概率：
P₁=P（

.

A

B

.

C

）=（1-

1

2

）×

1

3

×（1-

1

4

）=

1

8

．
（Ⅱ）甲丙二人中至少有一人完成了任務的對立事件是甲、丙二人都沒有完成任務，
∴甲丙二人中至少有一人完成了任務的概率：
P₂=1-[P（

.

A

.

B

.

C

）+P（

.

A

B

.

C

）]
=1-（

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

3

×

3

4

）
=1-

3

8

=

5

8

．
（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=P（

.

A

.

B

.

C

）=

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，
P（X=1）=P（A

.

B

.

C

+

.

A

B

.

C

+

.

A

.

B

C）=

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

=

11

24

，
P（X=2）=P（AB

.

C

+A

.

B

C+

.

A

BC）=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

，
P（X=3）=P（ABC）=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

EX=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

11

12

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．