(2012•西城區(qū)一模)乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動員間進(jìn)行,比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝,比賽結(jié)束),假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.
(Ⅰ)求甲以4比1獲勝的概率;
(Ⅱ)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率;
(Ⅲ)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.
分析:(I)先由已知,甲、乙兩名運(yùn)動員在每一局比賽中獲勝的概率,甲以4比1獲勝,根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式公式,列出算式,得到結(jié)果.
(II)記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.B包括乙以4:2獲勝和乙以4:3獲勝,根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式列出算式,得到結(jié)果.
(III)比賽結(jié)束時比賽的局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為4,5,6,7,根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式計算出各自的概率即可得到分布列.
解答:解:(Ⅰ)由已知,甲、乙兩名運(yùn)動員在每一局比賽中獲勝的概率都是
1
2
. …(1分)
記“甲以4比1獲勝”為事件A,
P(A)=
C
3
4
(
1
2
)3(
1
2
)4-3
1
2
=
1
8
.                               …(4分)
(Ⅱ)記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.
因為,乙以4比2獲勝的概率為P1=
C
3
5
(
1
2
)3(
1
2
)5-3
1
2
=
5
32
,…(6分)
乙以4比3獲勝的概率為P2=
C
3
6
(
1
2
)3(
1
2
)6-3
1
2
=
5
32
,…(7分)
所以 P(B)=P1+P2=
5
16
.                                    …(8分)
(Ⅲ)設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為4,5,6,7.
P(X=4)=2
C
4
4
(
1
2
)4=
1
8
,…(9分)
P(X=5)=2
C
3
4
(
1
2
)3(
1
2
)4-3
1
2
=
1
4
,…(10分)
P(X=6)=2
C
3
5
(
1
2
)3(
1
2
)5-2
1
2
=
5
16
,…(11分)P(X=7)=2
C
3
6
(
1
2
)3(
1
2
)6-3
1
2
=
5
16
.                           …(12分)
比賽局?jǐn)?shù)的分布列為:
X 4 5 6 7
P
1
8
1
4
5
16
5
16
(13分)
點評:本小題主要考查古典概型及其概率計算,考查取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值的概念,通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境,考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.
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3
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