Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)函數(shù)，其中a＞0．若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．由偶函數(shù)的定義，構(gòu)造一個關(guān)于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，即方程log₂（4^x+1）-x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，分類討論后，即可得到a的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴函數(shù)的定義域為（，+∞）
即滿足
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，
∴方程log₂（4^x+1）-x=在（，+∞）有且只有一解
即：方程在上只有一解
令2^x=t，則，因而等價于關(guān)于t的方程（*）在上只有一解
當(dāng)a=1時，解得，不合題意；
當(dāng)0＜a＜1時，記，其圖象的對稱軸
∴函數(shù)在（0，+∞）上遞減，而h（0）=-1
∴方程（*）在無解
當(dāng)a＞1時，記，其圖象的對稱軸
所以，只需，即，此恒成立
∴此時a的范圍為a＞1
綜上所述，所求a的取值范圍為a＞1．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)與方程的綜合運用，偶函數(shù)，其中根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k值，進而得到函數(shù)f（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．