Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）證明：對(duì)?x₁，x₂∈R⁺，都有x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]；
（Ⅲ）若，證明：（i，n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的表達(dá)式，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后求出最小值；
（Ⅱ）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的最小值，然后證明：對(duì)?x₁，x₂∈R⁺，都有x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]；
（Ⅲ）法一：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明：（i，n∈N^*）．
方法二：直接利用，通過基本不等式與放縮法證明即可．
解答：解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x），（0＜x＜1），
則．
令f'（x）=0，得．
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在是增函數(shù)，
所以 f（x）在時(shí)取得最小值，即．  …（4分）
（Ⅱ）因?yàn)?nbsp;f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），
所以 ．
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值．?x₁，x₂∈R⁺，不妨設(shè)x₁+x₂=a，則=（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]．                   …（8分）
（Ⅲ）（證法一）數(shù)學(xué)歸納法
�。┊�(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅱ）知命題成立．
ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（ k∈N^*）時(shí)命題成立，
即若，則．
當(dāng)n=k+1時(shí)，x₁，x₂，…，，滿足 ．
設(shè)，
由（Ⅱ）得
=
=．
由假設(shè)可得 F（x）≥-ln2^k-ln2=-ln2^k+1，命題成立．
所以當(dāng) n=k+1時(shí)命題成立．
由�。�，ⅱ）可知，對(duì)一切正整數(shù)n∈N^*，命題都成立，
所以 若，則 （i，n∈N^*）．            …（13分）
（證法二）若，
那么由（Ⅱ）可得===-ln2ⁿ．
…（13分）
（若用其他方法解題，請(qǐng)酌情給分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明方法數(shù)學(xué)歸納法、放縮法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．