Question

已知
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差得正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，求出x的范圍即可；
（3）作出函數(shù)y=f（x）在[-，]上的圖象，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)，即方程f（x）-m=0無(wú)解，亦即：函數(shù)y=f（x）與y=m在x∈[-，]上無(wú)交點(diǎn)從圖象可看出f（x）在[-，]上的值域?yàn)閇0，+1]，利用圖象即可求出m的范圍．
解答：解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（2）由+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z得：+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（3）作出函數(shù)y=f（x）在[-，]上的圖象如下：

函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)，即方程f（x）-m=0無(wú)解，
亦即：函數(shù)y=f（x）與y=m在x∈[-，]上無(wú)交點(diǎn)從圖象可看出f（x）在[-，]上的值域?yàn)閇0，+1]，
則m＞+1或m＜0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．