Question

已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)面積為2，則該三棱錐外接球的表面積的最小值為

4π

．

Answer 1

分析：三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，二者的外接球是同一個(gè)，根據(jù)球的表面積，求出球的直徑，就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)出三度，利用基本不等式求出三棱錐外接球的直徑的最值，從而得出該三棱錐外接球的表面積的最小值．

解答：解：三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，二者的外接球是同一個(gè)，
因?yàn)槿�棱錐S-ABC的側(cè)面積為2，
設(shè)長(zhǎng)方體的三同一點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)為：a，b，c，
所以

1

2

（SA•SB+SA•SC+SB•SC）=

1

2

（ab+bc+ac）=2，
⇒ab+bc+ac=4，
該三棱錐外接球的直徑2R就其長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，
從而有：（2R）²=a²+b²+c²≥ab+bc+ac=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．
∴2R≥2⇒R≥1，
則該三棱錐外接球的表面積的最小值為4πR²=4π×1²═4π
故答案為：4π．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接體知識(shí)，基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力，計(jì)算能力，三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體是本題的關(guān)鍵．