Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，短軸長為2． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若圓O：x2+y2=1的切線l與曲線E相交于A、B兩點，線段AB的中點為M，求|OM|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（ I）由題意得 ，解得a=2，b=1．

∴橢圓C的標準方程 ．

（ II）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

若直線l的斜率為0，則l方程為y=±1，此時直線l與橢圓只有1個交點，不符合題意；

設直線l：x=my+t．

∵l與圓O相切，∴ ，即t2=m2+1；

聯(lián)立方程組 ，消去x，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0，

則△=4m2t2﹣4（t2﹣4）（m2+4）=16（m2﹣t2+4）=48＞0，

∴ ，∴ ， ，即 ，

∴ ，

設x=m2+4，則x≥4， ，

∴當x=8時等號成立，|OM|取得最大值 =

【解析】（I）根據條件列方程組解出a，b即可得出橢圓的方程；（II）設直線l方程為x=my+t，聯(lián)立方程組消元，利用根與系數的關系求出M的坐標，根據距離公式求出|OM|的最值．