Question

已知不等式（x-1）²≤a²，（a＞0）的解集為A，函數(shù)f(x)=lg

x-2

x+2

的定義域?yàn)锽．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明函數(shù)f(x)=lg

x-2

x+2

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

Answer 1

分析：（I）有不等式（x-1）²≤a²，（a＞0）解出集合A，再有函數(shù)f(x)=lg

x-2

x+2

的定義域?yàn)锽，求出集合B，利用A∩B=φ，求a的取值范圍；
（II）先有f（x）的解析式求得該函數(shù)的定義域，再利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的奇偶性．

解答：解：（Ⅰ）由（x-1）²≤a²，（a＞0），得1-a≤x≤1+a，A=x|1-a≤x≤1+a，
由

x-2

x+2

＞0得x＜-2或x＞2，B=x|x＜-2或x＞2，
∵A∩B=φ，∴-2≤1-a且1+a≤2（a＞0），∴0＜a≤1；
（Ⅱ）證明：∵f(x)=lg

x-2

x+2

（x＜-2或x＞2），
∴f(x)+f(-x)=lg

x-2

x+2

+lg

-x-2

-x+2

=lg(

x-2

x+2

×

x+2

x-2

)=lg1=0
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次不等式的求解，還考查了學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力及奇函數(shù)的定義與判定．