Question

某品牌設(shè)計了編號依次為1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N^*）的n種不同款式的時裝，由甲、乙兩位模特分別獨立地從中隨機選擇i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）種款式用來拍攝廣告．
（1）若i=j=2，且甲在1到m（m為給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2）號中選擇，乙在（m+1）到n號中選擇．記P_st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）為款式（編號）s和t同時被選中的概率，求所有的P_st的和；
（2）求至少有一個款式為甲和乙共同認可的概率．

Answer 1

（1）甲從1到m（m為給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2）號中任選兩款，乙從（m+1）到n號中任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)為

C

2m

C

2n-m

，
記“款式s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同時被選中”為事件B，則事件B包含的基本事件的種數(shù)為

C

11

C

1m-1

•

C

11

C

1n-(m+1)

，
所以P（B）=Pst=

C 11 C 1m-1 • C 11 C 1n-(m+1)

C 2m C 2n-m

=

4

m(n-m)

，
則所有的P_st的和為：

C

1m

C

1n-m

•

4

m(n-m)

=4；（4分）
（2）甲從n種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為：

C

0n

+

C

1n

+

C

2n

+…+

C

nn

=2ⁿ，
同理得，乙從n種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為2ⁿ，
據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，所有等可能的基本事件的種數(shù)為：2ⁿ•2ⁿ=4ⁿ，
記“至少有一個款式為甲和乙共同認可”為事件A，則事件A的對立事件

.

A

為：“沒有一個款式為甲和乙共同認可”，
而事件

.

A

包含的基本事件種數(shù)為：

C

0n

•(

C

0n

+

C

1n

+

C

2n

+…+

C

nn

)+

C

1n

•(

C

0n-1

+

C

1n-1

+

C

2n-1

+…+

C

n-1n-1

)+…+

C

n-1n

•(

C

01

+

C

11

)+

C

nn

•(

C

00

)=

C

0n

•2n+

C

1n

•2n-1+…+

C

n-1n

•2+

C

nn

•20=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
所以P(A)=1-P(

.

A

)=1-(

3

4

)n．（10分）