Question

（2012•西城區(qū)二模）已知拋物線y²=4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．
（Ⅰ）若

AF

=2

FB

，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設(shè)點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意F（1，0），設(shè)直線AB方程為x=my+1．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得y²-4my-4=0．由此能夠求出直線AB的斜率．
（Ⅱ）由點C與原點O關(guān)于點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S_△AOB．由此能求出四邊形OACB的面積最小值．

解答：（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：依題意F（1，0），設(shè)直線AB方程為x=my+1．            …（1分）
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y²-4my-4=0． …（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①…（4分）
因為 

AF

=2

FB

，
所以 y₁=-2y₂．    ②…（5分）
聯(lián)立①和②，消去y₁，y₂，得m=±

2

4

． …（6分）
所以直線AB的斜率是±2

2

．     …（7分）
（Ⅱ）解：由點C與原點O關(guān)于點M對稱，得M是線段OC的中點，
從而點O與點C到直線AB的距離相等，
所以四邊形OACB的面積等于2S_△AOB．                     …（9分）
因為 2S△AOB=2×

1

2

•|OF|•|y1-y2|…（10分）
=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

1+m2

，…（12分）
所以 m=0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．      …（13分）

點評：本題考查直線斜率的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．