Question

已知橢圓C的焦點在y軸上，離心率為，且短軸的一個端點到下焦點F的距離是．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)直線y=-2與y軸交于點P，過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程，利用短軸的一個端點到下焦點F的距離是，離心率為，可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（0，-1），P（0，-2），且直線l的斜率存在，設(shè)其方程代入橢圓方程，從而可表示△PAB面積，利用基本不等式，即可求得△PAB面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）因為橢圓C的焦點在y軸上，所以設(shè)橢圓C的方程是（a＞b＞0）．…（1分）
因為短軸的一個端點到下焦點F的距離是，離心率為
所以，c=1
所以b²=a²-c²=1
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是                 …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（0，-1），P（0，-2），且直線l的斜率存在，
設(shè)其方程為：y=kx-1，代入橢圓方程可得（2+k²）x²-2kx-1=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=，x₁x₂=．…（7分）
所以△PAB面積S_△PAB=|x₁-x₂|（x₁，x₂異號）．
所以S_△PAB==≤…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)，即k=0時，S_△PAB有最大值是
所以當(dāng)k=0時，△PAB面積的最大值是…（13分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．