已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx（a、b是常數(shù)且a≠0）滿足條件：f(2)=0且方程f(x)=x有等根。

    （1）求f(x)的解析式。

    （2）問是否存在實(shí)數(shù)m，n（m<n）使f(x)的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值，如不存在，說明理由。

 

答案：
解析：

(1)∵方程αx2＋(b－1)x＝0(α≠0)有等根，

    ∴△=(b－1)2－4α×0＝0b＝1，

    又，f(2)＝0，∴4α＋2b＝0，

    ，。

(2)，

    ，

    而二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x＝1，

    ∴當(dāng)n≤時(shí)，f(x)在[m，n]上為增函數(shù)，設(shè)m，n存在則

    即

        

    即存在實(shí)數(shù)m＝－2，n＝0使，f(x)的定義域?yàn)閇－2，0]，值域?yàn)閇－4，0]。

 


提示：

本題是一道確定函數(shù)解析式、定義域、值域?yàn)橐惑w的綜合題，應(yīng)從，f(2)=0和f(x)＝x有等根著手，進(jìn)行各個(gè)擊破。

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域?yàn)椋?1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
10
時(shí)，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實(shí)根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)b=2a時(shí)，問是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說明理由．

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