Question

設(shè)定義域?yàn)镽₊的函數(shù)f（x），對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)有f（x）＞0．
①求f（1）的值；      
②判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．
③若f（

1

a

）=-1，求滿(mǎn)足不等式f（1-x-2x²）≤1的x的取值范圍．

Answer 1

分析：①利用賦值法進(jìn)行求f（1）的值；      
②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．
③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式即可．

解答：解：①令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
②f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)，
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則

x1

x2

＞1，
∴f（

x1

x2

）＞0，
∴f(x1)-f(x2)=f(x2?

x1

x2

)-f(x2)=f(x2)+f(

x1

x2

)-f(x2)=f(

x1

x2

)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)．
③∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令y=

1

x

，則f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，
又f（

1

a

）=-1，
∴f（a）=1，
由②知，f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)．
∴不等式f（1-x-2x²）≤1等價(jià)為f（1-x-2x²）≤f（a），
則

1-x-2x2＞0，  (1) 1-x-2x2≤a，   (2)

由不等式（1）得-1＜x＜

1

2

，
∵不等式（2）可化為：2x²+x+a-1≥0，
1⁰當(dāng)△=9-8a≤0，即a≥

9

8

時(shí)，不等式（2）恒成立，此時(shí)，所求解集為x∈(-1，

1

2

)．
2⁰當(dāng)△=9-8a＞0時(shí)，又∵a＞0，∴0＜a＜

9

8

．
此時(shí)，不等式（2）的解為x≤

-1- 9-8a

4

或x≥

-1+ 9-8a

4

．
又∵0＜a＜

9

8

，
∴0＜9-8a＜9，
∴-1＜

-1- 9-8a

4

＜

-1+ 9-8a

4

＜

1

2

．
∴此時(shí)所求解集為：x∈(-1，

-1- 9-8a

4

]∪[

-1+ 9-8a

4

，

1

2

)．
綜上，當(dāng)a≥

9

8

時(shí)，所求解集為x∈(-1，

1

2

)
當(dāng)0＜a＜

9

8

時(shí)，所求解集為：x∈(-1，

-1- 9-8a

4

]∪[

-1+ 9-8a

4

，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，以及抽象函數(shù)的求值，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和單調(diào)性的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．