Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-bx²（a＞0）．
（1）當b＞1時，若對任意x∈[0，1]，都有|f（x）|≤1，證明：b-1≤a≤2$\sqrt$；
（2）當0＜b≤1時，若對任意x[0，1]，都有|f（x）|≤1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論絕對值不等式|f（x）|≤1的解集為f（x）≤1或f（x）≥-1，分別得到a的范圍，求出公共解集即可，
（2）由f（x）≤1得到a-b≤1即a≤b+1，繼而得到a的范圍．

解答 證明：對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≥-1．
據(jù)此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，
∴a≥b-1．
對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≤1，
因為b＞1，可得0＜$\frac{1}{\sqrt}$＜1，可推出f（$\frac{1}{\sqrt}$）≤1，即a•$\frac{1}{\sqrt}$-1≤1，
∴a≤2$\sqrt$，
∴b-1≤a≤2$\sqrt$．
（3）解：因為a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈[0，1]有f（x）=ax-bx²≥-b≥-1，即f（x）≥-1；
f（x）≤1⇒f（1）≤1⇒a-b≤1，
即a≤b+1．
故a的取值范圍為（0，b+1）

點評 本題考查了絕對值不等式的證明和參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．