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設f(x)=+xlnx，g(x)=x3-x2-3．
（1）當a=2時，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；
（2）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)- g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（3）如果對任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．
解：（1）
所以，曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=-x+3；
（2）

由下表知，，

∴，
所以滿足條件的最大整數M=4；
（3）
等價于：在區(qū)間上，函數f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，
由（2）知，在區(qū)間上，g(x)的最大值為，，
下證當a≥1時，在區(qū)間上，函數f(x)≥1恒成立，
當a≥1且時，，
記，，。
當時，；
當時，，
所以，函數在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，，即h(x)≥1， 所以，當a≥1且時，f(x)≥1成立，
即對任意，都有f(s)≥g(t)。
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

15、設函數f（x），g（x）的定義域分別為DJ，DE．且DJ?DE，若對于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），則稱函數g（x）為f（x）在DE上的一個延拓函數．設f（x）=xlnx（x＞0），g（x）為f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一個延拓函數，且g（x）是奇函數，則g（x）=
xln|x|
；設f（x）=2x-1（x≤0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數，且g（x）是偶函數，則g（x）=
2-|x|-1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=-
x22
+xln(ex+1)+3的定義域為區(qū)間[-a，a]，則函數f（x）的最大值與最小值之和為
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•綿陽二模）已知函數f（x）=xln x（x＞0）．
（1）若b≥
1
e
，求證bbe≥
1
e
（e是自然對數的底數）；
（2）設F（x）=f（x）+（a-1）x（x≥1，a∈R），試問函數F（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）=xln x（x＞0）．
（1）若b≥數學公式，求證數學公式（e是自然對數的底數）；
（2）設F（x）=f（x）+（a-1）x（x≥1，a∈R），試問函數F（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設函數f(x)=-
x2
2
+xln(ex+1)+3的定義域為區(qū)間[-a，a]，則函數f（x）的最大值與最小值之和為______．

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