已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx滿足f(2)＝0且方程f(x)＝0有等根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，n(m＜n)，使f(x)的定義域?yàn)椋?/span>m，n］，值域?yàn)椋?/span>2m，2n］，如存在，求出m，n的值，如不存在，說(shuō)明理由．

答案：
解析：

(1)依題意，方程ax2＋(b－1)x＝0有等根

∴(b－1)2＝0即b＝1

又f(2)＝0，

∴4a＋2b＝0，∴a＝－

∴f(x)＝－x2＋x

(2)∵f(x)＝－ (x－1)2＋≤

∴2n≤，即n≤

∵f(x)＝－ (x－1)2＋的對(duì)稱軸為x＝1

∴當(dāng)n≤時(shí)，f(x)在［m，n］上為增函數(shù)．

設(shè)m，n存在，則

即

又m＜n≤，∴

即存在實(shí)數(shù)m＝－2，n＝0，使f(x)的定義域?yàn)椋郏?，0］，值域?yàn)椋郏?，0］．


提示：

二次函數(shù)問(wèn)題是函數(shù)中的重要題型，本題先用待定系數(shù)法確定解析式，然后再用m，n把定義域、值域聯(lián)系起來(lái)，考查二次函數(shù)性質(zhì)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域?yàn)椋?1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
10
時(shí)，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實(shí)根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)b=2a時(shí)，問(wèn)是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說(shuō)明理由．

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