Question

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為4

2

的等邊三角形，又PA=PB=2

6

，PC=2

10

（I）證明平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面PAB⊥平面ABC，只要證PAB經(jīng)過(guò)平面ABC的一條垂線即可，又題意可取AB的中點(diǎn)O，通過(guò)三角形的邊角關(guān)系可證PO垂直于平面ABC，則問(wèn)題得證；
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系，利用空間向量求解直線PB與平面PAC所成角的正弦值．

解答：（I）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OP，OC，∵PA=PB，∴PO⊥AB
又在△PAO中，PA=2

6

，AO=

1

2

AB=2

2

，∴PO=

PA2-AO2

=4
在△ABC中，OC=

3

2

BC=2

6

，又PC=2

10

，
故有OC²+PO²=PC²，∴PO⊥OC，又AB∩OC=O，PO⊥面ABC
又PO?面PAB，∴面PAB⊥面ABC；
（Ⅱ）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系，
如圖，則A(-2

2

，0，0)，B(2

2

，0，0)，C(0，2

6

，0，P(0，0，4)

PB

=(2

2

，0，-4)

AP

=(2

2

，0，4)，

AC

=(2

2

，2

6

，0)
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)．
∴

n • AP =0 n • AC =0

，得

2 2 x+4z=0 2 2 x+2 6 y=0

，
令z=1，則x=-

2

，y=

6

3

，∴

n

=(-

2

，

6

3

，1)
設(shè)直線PB與平面PAC所成角為θ
于是sinθ=|cos＜

n

，

PB

＞|=

| n • PB |

| n || PB |

=

1-4-4

2+ 2 3 +1 • 8+16

=

2 22

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求線面角，關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．