Question

已知橢圓上任一點(diǎn)P，由點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在PQ上，且，點(diǎn)M的軌跡為C.

   （1）求曲線(xiàn)C的方程；

   （2）過(guò)點(diǎn)D（0，－2）作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)且以 為方向向量的直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足（O為原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線(xiàn)l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）設(shè)M（x，y）是曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)，因?yàn)镻M⊥x軸，，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，3y）

    因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，

    所以，因此曲線(xiàn)C的方程是

   （2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿(mǎn)足條件

    所以設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx－2與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N點(diǎn)所在直線(xiàn)方程為

    ，

    由，

    因?yàn)?sub>，所以四邊形OANB為平行四邊形，

    假設(shè)存在矩形OANB，則

    即，

    所以，

    設(shè)N（x₀，y₀），由，得

    ，即N點(diǎn)在直線(xiàn)，

    所以存在四邊形OANB為矩形，直線(xiàn)l的方程為。