Question

14．船上兩根高5m的桅桿相距10m，一條30m長的繩子兩端系在桅桿的頂上，并按如圖所示的方式繃緊，假設(shè)繩子位于兩根桅桿所在的平面內(nèi)，求繩子與甲板接觸點P到桅桿AB的距離．

Answer 1

分析 以兩根桅桿的頂端A，C所在直線為x軸，線段AC的垂直平分線為y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，求出橢圓的方程，然后求解P到桅桿AB的距離．

解答 解：以兩根桅桿的頂端A，C所在直線為x軸，線段AC的垂直平分線為y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，…（2分）
則P點在以A，C為焦點的橢圓上，依題意，此橢圓的方程為$\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{200}=1$，…（8分）
因為P點縱坐標(biāo)為-5，代入橢圓方程可解得$P（{-\frac{{15\sqrt{14}}}{4}，-5}）$…（12分）
所以P到桅桿AB的距離為$\frac{{15\sqrt{14}}}{4}-5$m．…（14分）
答：繩子與甲板接觸點P到桅桿AB的距離為$\frac{{15\sqrt{14}}}{4}-5$m．…（16分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法與應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．