Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x+

π

6

)+cos(2x-

π

6

)+2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上的最大值和最小值，并求此時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）利用和差的余弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)，即可求f（x）的最小正周期；
（2）由-

π

3

≤x≤

π

3

，得-

π

3

≤2x+

π

3

≤π，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上的最大值和最小值，及此時(shí)x的值．

解答：解：（1）f(x)=cos(2x+

π

6

)+cos(2x-

π

6

)+2sinxcosx
=cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

+cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

+2sinxcosx=2×

3

2

cos2x+sin2x=

3

cos2x+sin2x
=2(

3

2

cos2x+

1

2

sin2x)=2(sin

π

3

cos2x+cos

π

3

sin2x)=2sin(2x+

π

3

)…（6分）
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π…（7分）
（2）由（1）知f（x）=2sin(2x+

π

3

)，
由-

π

3

≤x≤

π

3

，得-

π

3

≤2x+

π

3

≤π，…（8分）
∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時(shí)，f（x）取得最大值2；    …（10分）
當(dāng)2x+

π

3

=-

π

3

，即x=-

π

3

時(shí)，f（x）取得最小值-

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查三角兩角和的正余弦公式，三角特殊值的運(yùn)算，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）（或f（x）=Acos（ωx+?））的周期，最值等知識(shí)，考查化歸、轉(zhuǎn)化、換元的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力．