Question

對函數(shù)f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為一三角形的三邊長，則稱f（x）為“三角型函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=

2x+m

2x+2

（m＞0）是“三角型函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將函數(shù)化為f（x）=1+

m-2

2x+2

的形式，然后結(jié)合單調(diào)性，結(jié)合構(gòu)成三角形的條件構(gòu)造不等式即可．

解答： 解：原函數(shù)可化為f（x）=1+

m-2

2x+2

．
當(dāng)m=2時，f（x）=1，顯然符合題意；
當(dāng)m≠2時，f（x）=1+

m-2

2x+2

在R上是單調(diào)函數(shù)，此時若該函數(shù)為“三角形函數(shù)”，只需2f（x）_min＞f（x）_max即可．
當(dāng)m＞2時，易知f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，此時當(dāng)x→+∞時，

m-2

2x+2

→0，故f（x）→1；又x→-∞時，2^x→0，故2^x+2→2，所以f（x）→1+

m-2

2

．
此時只需2≥1+

m-2

2

．解得2＜m≤4；
當(dāng)m＜2時，易知f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，此時當(dāng)x→+∞時，

m-2

2x+2

→0，故f（x）→1；又x→-∞時，2^x→0，故2^x+2→2，所以f（x）→1+

m-2

2

．
此時需1≤2+2×

m-2

2

．解得1≤m＜2；
綜上，m的范圍是[1，4]．

點評：本題實質(zhì)上是一個不等式恒成立問題，因此最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．