Question

在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知AB=AD=4，AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，
（1）求AC₁的長(zhǎng)；
（2）求平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

分析：（1）記A₁在面ABCD內(nèi)的射影為O，O在∠BAD的平分線上，說(shuō)明∠BAD的平分線即菱形ABCD的對(duì)角線AC，求AC₁的長(zhǎng)
（2）求出底面面積，求出高，即可求平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

解答：解：（1）記A₁在面ABCD內(nèi)的射影為O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分線上，
又AB=AD，∴∠BAD的平分線即菱形ABCD的
對(duì)角線AC，故O在AC上；∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB
∴cos∠A₁AO=

3

3

，∴sin∠A₁AO=

6

3

，AO=

3

cos∠ACC₁=-

3

3

；又AC=4

3

，在△ACC₁中由余弦定理得AC₁=9；
所以AC₁=9；

（2）在△A₁AO中，A₁O=

6

，
V_{ABCD-A1B1C1D1}=4×4×

3

2

×

6

=24

2

．
 注：求AC₁的長(zhǎng)還可以用向量：

.

AC1

=

.

AB

+

.

BC

+

.

CC1

，平方即可．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．解題關(guān)鍵在于，正確解三角形．