Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，過F₂做橢圓的弦AB，若△AF₁B 的周長是16，橢圓的離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；       
（2）若∠F₁AF₂=90°，求△F₁AF的面積S；
（3）已知P（2，1）是橢圓內(nèi)一點，在橢圓上求一點Q，使得

3

PQ+2QF₂最小，并求出最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

4a=16 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由∠F₁AF₂=90°，知S△F1AF2=b²tan90°，由此能求出結(jié)果．
（3）過P作右準(zhǔn)線的垂線，與橢圓的交點為Q，此時PQ+2QF₂有最小值．

解答： 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，
過F₂做橢圓的弦AB，△AF₁B 的周長是16，橢圓的離心率e=

3

2

，
∴

4a=16 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=4，c=2

3

，b=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）∵∠F₁AF₂=90°，
∴S△F1AF2=b²tan90°=4．
（3）∵P（2，1）是橢圓內(nèi)一點，
∴過P作右準(zhǔn)線的垂線，與橢圓的交點為Q，此時PQ+2QF₂有最小值．
∴Q（x_Q，1）x_Q＞0，代入

x2

16

+

y2

4

=1，得x_Q=3，∴Q（3，1）．
P到右準(zhǔn)線的距離d=

16

2 3

-2=

8

3

-2，
∵

QF2

8 3 -2

=

3

2

，
∴2QF₂=8-2

3

，
∴PQ+2QF₂的最小值為：1+8-2

3

=9-2

3

．
即當(dāng)Q（3，1）時，PQ+2QF₂有最小值，最小值為9-2

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，考查線段和最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．