Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax，g（x）=lnx
（1）若f（x）≥g（x）對于定義域內(nèi)的x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x）有兩個極值點x₁，x₂且x₁∈（0，），求證：h（x₁）-h（x₂）＞-ln2；
（3）設(shè)r（x）=f（x）+g（），若對任意的a∈（1，2），總存在x∈[]，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）≥g（x），知a≤x-，（x＞0）．設(shè)∅（x）=x-，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的范圍．
（2）由h（x）=x²-ax+lnx，知h′（x）=，（x＞0），故，由，知x₂∈（1，+∞），且，由此能夠證明．
（3）由r（x）=f（x）+g（），知=，所以1-a+＞k（1-a²），設(shè)∅（a）=1-a++k（a²-1），a∈（1，2），∅（1）=1，利用分類討論思想能求出實數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=x²-ax，g（x）=lnx，f（x）≥g（x），
∴a≤x-，（x＞0）．（1分）
設(shè)∅（x）=x-，∅′（x）=，（2分）
當(dāng)x∈（0，1）時，∅′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，∅′（x）＞0，
∴∅（x）≥∅（1）=1，∴a∈（-∞，1]．（4分）
（2）h（x）=x²-ax+lnx，
∴h′（x）=，（x＞0）（5分）
∴，
∵，∴x₂∈（1，+∞），且，（i=1，2），（6分）
∴h（x₁）-h（x₂）=（）-（）
=（-）-（-）
=
=，（x₂＞1）．（8分）
設(shè)u（x）=x²--ln2x²，x≥1，
則≥0，∴u（x）＞u（1）=．
即．（10分）
（3）∵r（x）=f（x）+g（），
∴
=，
，
∴r（x）在[，+∞）上為增函數(shù)，∴r（x）_max=r（1）=1-a+，
所以1-a+＞k（1-a²），（12分）
設(shè)∅（a）=1-a++k（a²-1），a∈（1，2），∅（1）=0，
有∅（a）＞0在a∈（1，2）恒成立，
∵∅′（x）=（2ka-1+2k）．
①k=0時，∵，∴∅（a）在a∈（1，2）遞減，
此時∅（a）＜∅（1）=0不符合；（13分）
②k＜0時，∵，∅（a）在a∈（1，2）遞減，
此時∅（a）＜∅（1）=0不符合；（14分）
③k＞0時，∵，
若，則∅（a）在區(qū)間（1，min{2，}）上遞減，
此時∅（a）＜∅（1）=0不符合；（15分）
綜上得，解得k≥，即實數(shù)k的取值范圍為[，+∞）．（16分）
點評：本題考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的合理運用．