Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）
（1）若x＞0證明：f(x)＞

2x

x+2

．
（2）若不等式

1

2

x2≤f(x2)+m2-2bm-3對(duì)于x∈[-1，1]及b∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把不等式一邊的式子移項(xiàng)，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，得到函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，而函數(shù)的最小值大于0的函數(shù)值，得到結(jié)論．
（2）整理函數(shù)，把含有變量x的式子整理到不等號(hào)的一側(cè)，把含有x的代數(shù)式寫成新函數(shù)，最新函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)而求出最大值，使得不等式的另一側(cè)的代數(shù)式大于最大值，得到關(guān)于m的一元二次不等式，得到結(jié)果．

解答：解：（1）令g(x)=f(x)-

2x

x+2

=ln(x+1)-

2x

x+2

，
則g′(x)=

1

x+1

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

．
∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞

2x

x+2

．
（2）原不等式等價(jià)于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2bm-3．
令h(x)=

1

2

x2-f(x2)=

1

2

x2-ln(1+x2)，則h′(x)=x-

2x

1+x2

=

x3-x

1+x2

．
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，h（x）_max=0，∴m²-2bm-3≥0．
令Q（b）=-2mb+m²-3，則

Q(1)=m2-2m-3≥0 Q(-1)=m2+2m-3≥0

解得m≤-3或m≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)思想的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)于新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)求最值，再利用函數(shù)的思想來解題，這種題目可以出現(xiàn)在高考卷中．