Question

【題目】已知點及圓.

(1)若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；

(2)設(shè)過點的直線與圓交于兩點，當(dāng)時，求以線段為直徑的圓的方程；

(3)設(shè)直線與圓交于兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）不存在.

【解析】

（1）設(shè)出直線方程，結(jié)合點到直線距離公式，計算參數(shù)，即可。（2）證明得到點P為MN的中點，建立圓方程，即可。（3）將直線方程代入圓方程，結(jié)合交點個數(shù)，計算a的范圍，計算直線的斜率，計算a的值，即可。

(1)直線斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即.又圓的圓心為，半徑，由，解得.

所以直線方程為，即.

當(dāng)的斜率不存在時，的方程為，經(jīng)驗證也滿足條件．

即直線的方程為或.

(2)由于，而弦心距，

所以.

所以恰為的中點．

故以為直徑的圓的方程為.

(3)把直線代入圓的方程，消去，整理得.

由于直線交圓于兩點，

故，

即，解得.

則實數(shù)的取值范圍是．

設(shè)符合條件的實數(shù)存在，

由于垂直平分弦，故圓心 必在上．所以的斜率，

而，

所以.由于 ，

故不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦.