Question

20、下表給出一個“等差數(shù)陣”：

其中每行、每列都是等差數(shù)列，a_ij表示位于第i行第j列的數(shù)．
（I）寫出a₄₅的值；
（II）寫出a_ij的計算公式；
（III）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)圖象和每行、每列都是等差數(shù)列得到a₄₅的值．
（2）先根據(jù)第一行的前兩個數(shù)求出第一行的通項公式，同理可得第二行的通項公式，進而求出第i行的首項和公差得到通項公式．
（3）必要性：先假設(shè)N在該等差數(shù)陣中，則一定存在正整數(shù)i，j使得N=i（2j+1）+j成立，再得到2N+1的關(guān)系式后進行整理即可得得證．充分性：先假設(shè)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，根據(jù)2N+1是奇數(shù)可以分解為兩個不是1的奇數(shù)之積，表示出來即可得證．

解答：解：（I）a₄₅=49．

（II）該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列：a_1j=4+3（j-1），
第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列：a_2j=7+5（j-1），
第i行是首項為4+3（i-1），公差為2i+1的等差數(shù)列，因此
a_ij=4+3（i-1）+（2i+1）（j-1），
=2ij+i+j=i（2j+1）+j．

（III）必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得N=i（2j+1）+j，
從而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），
即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積．
充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），
從而N=k（2l+1）+l=a_kl，
可見N在該等差數(shù)陣中．
綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積．

點評：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．