Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax²+bx+c（a≠0），曲線y=f(x)通過(guò)點(diǎn)（0，2a+3），且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線垂直于y軸，
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當(dāng)bc取得最小值時(shí)，求函數(shù)g(x)=-f(x)e^-x的單調(diào)區(qū)間。

Answer 1

解：(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120115/201201151616460001056.gif">，
所以f′(x)=2ax+b，
又因?yàn)榍�線y=f(x)通過(guò)點(diǎn)（0，2a+3），
故f(0)=2a+3，
而f(0)=c，
從而c=2a+3，
又曲線y=f(x)在（-1，f(-1)）處的切線垂直于y軸，
故f′(-1)=0，即-2a+b=0，
因此b=2a；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
故當(dāng)時(shí)，bc取得最小值，
此時(shí)有，
從而，
，
所以，
令g′(x)=0，解得，
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，g′(x)＜0，故g(x)在x∈（-∞，-2）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，g′(x)＞0，故g(x)在x∈（-2，2）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g′(x)＜0，故g(x)在x∈（2，+∞）上為減函數(shù)；
由此可見(jiàn)，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2）和（2，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為（-2，2）。