Question

設(shè)是定義在的可導(dǎo)函數(shù)，且不恒為0，記．若對定義域內(nèi)的每一個，總有，則稱為“階負(fù)函數(shù) ”；若對定義域內(nèi)的每一個，總有，則稱為“階不減函數(shù)”（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）．
（1）若既是“1階負(fù)函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數(shù)”，如果存在常數(shù)，使得恒成立，試判斷是否為“2階負(fù)函數(shù)”？并說明理由．

Answer 1

（1）
（2）所有滿足題設(shè)的都是“2階負(fù)函數(shù)”

試題分析：解：（1）依題意，在上單調(diào)遞增，
故 恒成立，得，             2分
因為，所以．                        4分
而當(dāng)時，顯然在恒成立，
所以．                                       6分
（2）①先證：
若不存在正實數(shù)，使得，則恒成立．     8分
假設(shè)存在正實數(shù)，使得，則有，
由題意，當(dāng)時，，可得在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，恒成立，即恒成立，
故必存在，使得（其中為任意常數(shù)），
這與恒成立（即有上界）矛盾，故假設(shè)不成立，
所以當(dāng)時，，即；            13分
②再證無解：
假設(shè)存在正實數(shù)，使得，
則對于任意，有，即有，
這與①矛盾，故假設(shè)不成立，
所以無解，
綜上得，即，
故所有滿足題設(shè)的都是“2階負(fù)函數(shù)”．             16分
點評：主要是考查了新定義的運用，以及函數(shù)與方程的運用，屬于中檔題。