已知橢圓具有性質(zhì):若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212396423.png)
是橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212411313.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240122124271030.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212442396.png)
為常數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212458239.png)
上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
是橢圓上的任意一點(diǎn),若直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474367.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212489365.png)
的斜率都存在,并分別記為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212505409.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212520400.png)
,那么
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212505409.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212520400.png)
之積是與點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
位置無(wú)關(guān)的定值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212614497.png)
.
試對(duì)雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240122126301074.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212442396.png)
為常數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212458239.png)
寫出類似的性質(zhì),并加以證明.
雙曲線類似的性質(zhì)為:若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212396423.png)
是雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240122126301074.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212442396.png)
為常數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212458239.png)
上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
是雙曲線上的任意一點(diǎn),若直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474367.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212489365.png)
的斜率都存在,并分別記為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212505409.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212520400.png)
,那么
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212505409.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212520400.png)
之積是與點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
位置無(wú)關(guān)的定值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212926461.png)
.
試題分析:雙曲線類似的性質(zhì)為:若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212396423.png)
是雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240122126301074.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212442396.png)
為常數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212458239.png)
上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
是雙曲線上的任意一點(diǎn),若直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474367.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212489365.png)
的斜率都存在,并分別記為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212505409.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212520400.png)
,那么
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212505409.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212520400.png)
之積是與點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
位置無(wú)關(guān)的定值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212926461.png)
.
證明:設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012213113637.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012213129614.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012213144651.png)
,
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012213160806.png)
①,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012213176783.png)
②,
兩式相減得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240122131911070.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240122132071565.png)
是與點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
位置無(wú)關(guān)的定值.
點(diǎn)評(píng):中檔題,曲線關(guān)系問(wèn)題,往往通過(guò)聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題主要運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)。(2)作為研究直線的斜率乘積是否為定值問(wèn)題,應(yīng)用韋達(dá)定理,通過(guò)“整體代換”,簡(jiǎn)化了探究過(guò)程。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知橢圓的焦點(diǎn)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012248915434.png)
,
P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)
F1P到
Q,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012248931610.png)
,那么動(dòng)點(diǎn)
Q的軌跡是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130484911165.png)
過(guò)點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048507660.png)
,橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048538313.png)
左右焦點(diǎn)分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048569441.png)
,上頂點(diǎn)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048585318.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048616578.png)
為等邊三角形.定義橢圓
C上的點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048632705.png)
的“伴隨點(diǎn)”為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048663850.png)
.
(1)求橢圓
C的方程;
(2)求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048694743.png)
的最大值;
(3)直線
l交橢圓
C于
A、
B兩點(diǎn),若點(diǎn)
A、
B的“伴隨點(diǎn)”分別是
P、
Q,且以
PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)
O.橢圓
C的右頂點(diǎn)為
D,試探究Δ
OAB的面積與Δ
ODE的面積的大小關(guān)系,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012627316753.png)
的漸近線方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012627347674.png)
,左焦點(diǎn)為F,過(guò)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012627363795.png)
的直線為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012627378280.png)
,原點(diǎn)到直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012627378280.png)
的距離是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012627425459.png)
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012627441540.png)
交雙曲線于不同的兩點(diǎn)
C,
D,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012627456337.png)
,使得以
CD為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)
F。若存在,求出
m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012348804543.png)
(a>b>0)的離心率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012348804338.png)
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓短半軸長(zhǎng)半徑的圓與直線y=x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012348819341.png)
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012348835667.png)
與橢圓在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012348851266.png)
軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012348897289.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012348913302.png)
是橢圓的右焦點(diǎn),試探究以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012348929370.png)
為
直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240121291371080.png)
的左右焦點(diǎn)分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129152333.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129152353.png)
,由4個(gè)點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129184656.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129199589.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129152353.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129152333.png)
組成一個(gè)高為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129246337.png)
,面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129262382.png)
的等腰梯形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129152333.png)
的直線和橢圓交于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129496300.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129511309.png)
兩點(diǎn),求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129527319.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012129542524.png)
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240119525731111.png)
和橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011952588726.png)
有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為________________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
設(shè)點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011650817289.png)
是雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240116508321110.png)
與圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011650848696.png)
在第一象限的交點(diǎn),其中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011650848441.png)
分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011650864726.png)
,則雙曲線的離心率為______________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
已知點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011209049302.png)
是雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240112090651110.png)
的左焦點(diǎn),點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011209080318.png)
是該雙曲線的右頂點(diǎn),過(guò)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011209049302.png)
且垂直于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011209111266.png)
軸的直線與雙曲線交于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011209127300.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011209143309.png)
兩點(diǎn),若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011209158543.png)
是銳角三角形,則該雙曲線的離心率
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011209174264.png)
的取值范圍是( ).
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